Kumpulan Soal Olimpiade dan Pembahasannya

LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-XIX

Soal Pilihan Ganda Babak 50 Besar

1. Jika diketahui L1 : 3x – 4y + 8 = 0

L2 : 5x + 12y – 15 = 0

Cari salah satu persamaan garis L3 yang membagi L1 dan L2 sehingga dan mempunyai nilai yang sama besar

a. 14x – 112y + 179 = 0 d. 64x + 8y – 29 = 0

b. 8x + 64y + 29 = 0 e. 8x + 112y – 179 = 0

c. 112x + 14y – 179 = 0

2. Segitiga XYZ mempunyai panjang sisi 3,4,5. P adalah titik di dalam segitiga sedemikian hingga . Jarak P ke titik X,Y,Z berturut – turut l, m, dan n. Berapakah nilai dari l² + m² + n² ?

a. d.

b. 50 e.

c.

3. Nilai dari catatan:

a. 2²⁰⁰⁶ d. 2²⁰⁰⁷

b. 2²⁰⁰⁶-1 e. 2¹⁰⁰²-1

c. 2²⁰⁰⁷-1

4. Misalkan , maka tentukanlah nilai dari adalah…

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

5. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. Untuk sebarang n genap didefinisikan jumlahan S_n=U₁+U₂+U₃+...+U_n dan =U₁-U₂+U₃-U₄+...+U_n-1-U_n. Berapakah nilai r yang mungkin agar >3?

a. -1<r<0 d. <r<0

b. -1<r< e. tergantung oleh nilai a

c. -1<r<

6.. Jikadan , maka nilai

a. d.

b. e.

c.

7. Diketahui suatu jajargenjang memiliki sudut terkecil 60⁰ dan selisih panjang dua sisi yang tidak sejajar 10 cm. Jika luas jajar genjang tersebut sama dengan 150+37,5, maka panjang diagonal terpendek jajargenjang tersebut adalah:

a. 10+5 d. 40+10

b. 20+5 e. 40+20

c. 20+10

8. Untuk nilai dari adalah….

a. d.

b. e.

c.

9. Diketahui maka nilai

adalah….

a.4 d.10

b.6 e.12

c.8

10. Nilai gradien garis singgung fungsi di titik adalah….

a. d.

b. e.

c.

LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-XIX

Soal Isian Singkat Babak 50 Besar

1. Bilangan bulat terkecil yang jika bilangan itu ditulis dalam basis 5 akan terdiri dari 3 angka dan jika ditulis dalam basis 7 maka bilangan itu terdiri dari angka yang sama tapi dalam urutan yang terbalik adalah….

2. Sebuah kota memiliki tata jalanan seperti gambar dibawah ini.

X

Y

Rumah budi berada di titik X dan sekolahnya berada di titik Y. Banyak kemungkinan jalan yang dapat ditempuh Budi dari rumah ke sekolah adalah…. (dengan asumsi semua jalan dapat dilalui)

3. Tentukan polinomial dengan koefisien – koefisien real sehingga

(baca : adalah faktor dari )

4. Carilah himpunan penyelesaian 3-tuple dengan sehingga

5. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC (Semua panjang rusuknya sama panjang). Diketahui besar sudut antara bidang ABC dan bidang TBC adalah . Nilai dari

Kunci Jawaban Babak 50 Besar

Lomba Matematika Nasional XIX

Pilihan Ganda

1. a. 14x – 112y + 179 = 0

Misalkan P’(x’ , y’) adalah titik potong dari L₃. maka :

Untuk setiap titik di L3 , d1 dan d2 mempunyai nilai yang sama tetapi saling bertentangan sehingga :

Sehingga diperoleh L3 adalah :

2. a.

Lihat gambar di bawah:

Kita cari luas segitiga tersebut:

Menurut rumus luas yang lain:

Sedang menurut aturan cosinus:

… (1)

… (2)

… (3)

Persamaan (1), (2), dan (3) dijumlahkan, didapat:

3. b. 2²⁰⁰⁶-1

Pandang identitas binomial:

dan

Sehingga:

4. c. 3

Yang memenuhi adalah

Misalkan , maka diperoleh

Jadi,

5. b.

Perhatikan bahwa dapat dinyatakan sebagai deret geometri dengan suku pertama a dan rasio –r. Sehingga untuk n genap:

Sehingga batas-batasnya di r = -1 dan di r = .

Dicek dengan diagram di bawah:

Intervalnya adalah: -1<r<

6. a.

Misalkan

7. a. 10+5

Misalkan sisi terpendek = a dan sisi terpanjang = a+10

(diambil karena a harus positif)

Sehingga sisi terpanjangnya =

Dengan aturan cosinus, panjang diagonal terpendeknya:

8. b.

_{dipisah menjadi :}

sehingga hasilnya adalah

9. c. 8

10. a.

Maka gradien garis singgung fungsi di titik

Isian

1. 51

Misalkan bilangan bulat yang dimaksud adalah n dan misalkan , maka :

Dengan ketentuan dan

Analisis

, tidak mungkin memenuhi karena .

, akan memenuhi jika dan hanya jika dan , jadi merupakan bilangan yang dimaksud.

2. 20 kemungkinan

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

_3.

Misalkan , kita punya .

Misalkan adalah bilangan real sedemikian sehingga , maka

, dengan kata lain juga faktor dari .