BABAK 20 BESAR
Soal Essay1. Buktikan ada bilangan yang habis dibagi 5 2007 yang tidak memiliki digit 0!
Kunci Jawaban Babak 20 Besar
Lomba Matematika Nasional XIX
Soal Essay
1. Dengan Induksi Matematika akan ditunjukan bahwa
untuk setiap bilangan asli n terdapat bilangan dengan n-digit yang habis dibagi .
Untuk , ambil bilangan 1 digit yaitu 5.
Asumsikan benar untuk bahwa ada bilangan dengan k-digit yang habis dibagi , misal
Untuk , akan dibuktikan ada sedemikian hingga habis dibagi .
kita cukup buktikan ada sehingga adalah kelipatan 5
Misal .
Kasus I
, ambil
Kasus II
, ambil untuk dan untuk
Kasus III
, ambil untuk dan untuk
Kasus IV
, ambil untuk dan untuk
Maka , karena adlah kelipatan 5.
Induksi selesai.
Maka untuk bilangan dengan 2007 digit yang habis dibagi yang tidak memiliki digit 0.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar